2022 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 9 题

解答

焦点为 $F_1=(-2,0)$，$F_2=(2,0)$，两条渐近线为 $x+\sqrt{3}y=0$、$x-\sqrt{3}y=0$。 设 $P=(u,v)$。由数量积条件，

又因 $P\in \Gamma$，$u^2-3v^2=3$，联立得 $v^2=1/2$，$u^2=9/2$。 点到两渐近线的距离和为

由于 $u^2-3v^2=3>0$，有 $|u|>\sqrt{3}|v|$，故 $u\pm \sqrt{3}v$ 均与 $u$ 同号，从而