2026 年湖北预赛

解答

设

因为 $A,B$ 不是椭圆顶点，所以 $x_1{x}_2\ne 0$，两个斜率均有定义。记

由 $A,B,C$ 都在椭圆上，

而

由于 $Q(C)=1$ 且 $uv>0$，必有

两边除以 $x_1{x}_2$，得到

故其确为定值。

再将椭圆参数化为

上面的交叉项为零等价于

因此

于是

所以

当 ${\sin }^2\alpha ={\cos }^2\alpha =1/2$ 时等号成立。例如取

则 $A,B$ 是不同的非顶点，且由题设组合得到 $C=(0,1)\in \Gamma$。故所求最大值为