2015 年山西预赛 · 第 9 题

解答

记圆心 $P=(1,0)$，取直线的单位方向 $(\cos \theta ,\sin \theta )$，且 $\sin \theta >0$。线上点写成 $(1+t\cos \theta ,t\sin \theta )$。圆的两个交点对应 $t=\pm 1$；抛物线交点满足

两根 $t_{-}<-1<t=1<t_{+}$：圆周上有 $y^2-4x=-x(x+2)\le 0$，等号退化的水平情形不符合四个交点。于是 $BC=2$。等差条件等价于 $(t_{+}-1)+(-1-t_{-})=4$，即 $t_{+}-t_{-}=6$。由二次方程两根之差 $4/{\sin }^2\theta =6$，得 ${\sin }^2\theta =2/3$。故