同一骨架 2026 年上海预赛 · P006137
正截距只是几何的外观，关键是把约束归一化成若干正数之和固定，再将目标写成这些数的倒数表达式。极值不等式的等号还必须反向恢复成合法截距。
一个来自切点方程，目标是倒数和；另一个来自过定点的截距式，目标是倒数乘积，不能直接照搬同一组最优比例。
培玉 · 一试
2026 年吉林预赛
F2填空题立体几何综合
设 为空间直角坐标系内一点，其坐标为 。过点 任作一平面， 与三条坐标轴的正半轴分别交于点 。则四面体 体积的最小值为 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
用平面的截距式记录三个正截距，点 在平面上的条件给出三个正数之和为 。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
四面体体积是截距乘积的六分之一，故问题等价于定和条件下最大化一个倒数分母。
解答
设
平面 的截距式为
代入 ，得
令
则 且 。四面体体积为
由均值不等式，
所以
当 ，即 时等号成立。
复核
平面 通过 ，且三个截距均在正半轴； 其四面体体积为 ，下界可以取到。
方法总结
坐标平面截距与体积最值问题常用截距式 。把给定点条件化为若干正数之和，再以 AM--GM 控制其乘积， 即可同时得到最值与等号平面。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
截距式代入定点给出2/a+3/b+4/c=1，三个正量定和积最大直接对应体积最小，取等截距可实现。
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