2016 年全国高中数学联赛一试 · 第 8 题

设 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 是 $1, 2, \dots, 100$ 中的 $4$ 个互不相同的数，满足

(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}) (a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2}) = (a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + a_{3} a_{4})^{2},

则这样的有序数组 $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4})$ 的个数为。

作答

分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。

为什么评为 F3（会透露解法方向）

柯西等号模式明确，实质转化在既约公比和分母立方的整数参数化，此后有限分类与倒序配对完成计数。

用到的方法（会透露解法方向）

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