同一骨架 2010 年安徽预赛 第 4 题 · P009663
把对称坐标的平方作为非负变量后，几何可行性变成一个一元方程存在正根的条件。可行域边界对应代数重根，但还须核该重根确在正半轴，并能恢复实际点。
距离乘积题用重根边界确定纵坐标上界；两曲线题用正变量表达式的最小值接触水平线来确定相切参数，并额外回验切线方向。
培玉 · 一试
2026 年广东预赛
卡西尼卵形上纵坐标的最大值
F3填空题解析几何综合
在平面直角坐标系中，点 ，动点 满足 ，则 的纵坐标的最大值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
直接设 并平方，可把距离乘积条件写成关于 的二次方程。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
要求存在实横坐标，只需检查这个方程的判别式。
解答
设 。由题意
整理为
要使 (1) 有实数解 ，其判别式必须非负。于是
故 ，从而 。
当 时，(1) 有解 ，所以点 均满足原条件。因此纵坐标最大值为
复核
代入 ，两距离平方之积确为 。判别式给出的是存在横坐标的必要条件，而等号点的回代又证明该上界可达。
方法总结
两定点距离之积为常数时，先平方并用 降元。求坐标极值可转化为另一个变量方程“有实根”的判别式条件。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
对距离乘积平方后须以x²为未知量建立二次方程，用判别式给y²界并验证x²=8可达。
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