2023 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 10 题

解答

设圆半径为 $r>0$。因圆与两坐标轴均相切且经过第一象限内的点 $A$，其圆心必为 $P=(r,r)$。 由 $PA=r$，有

解得 $r=5$ 或 $r=29$。若 $r=29$，则

与 $P$ 在椭圆内矛盾。故 $r=5$，$\overrightarrow{PA}=(3,4)$。

由于圆与椭圆只有一个公共点，它们在 $A$ 处相切。椭圆在 $A$ 处的切线为

该切线的法向量 $(8/a^2,9/b^2)$ 与圆的半径向量 $(3,4)$ 平行，故

结合 $A\in \Gamma$，即 $64/a^2+81/b^2=1$，解得

因此圆的直径为 $2r=10$，椭圆的焦距为

所以 $\boxed{\Omega \text{ 的直径与 }\Gamma \text{ 的焦距相等}}$。