2023 年甘肃预赛

解答

所有无序两球组合等可能，所以条件等价于

整理得 $(m-n{)}^2=m+n$。令 $d=m-n$ 为正整数，则

这些表达式对任意整数 $d$ 都是整数。由 $n\ge 4$ 得 $d\ge 4$；由 $m+n=d^2\le 40$ 得 $d\le 6$。故 $d$ 可取 $4,5,6$，对应

所求数组个数为 $\boxed{3}$。