培玉 · 一试
2025 年上海预赛
圆锥内接圆柱与小圆锥内切球体积和
F3解答题立体几何综合
已知底面半径为 、高为 的圆锥内有一个内接圆柱，圆柱的上底面与圆锥的侧面所围成的小圆锥内有一个内切球。求内接圆柱与内切球的体积和的最大值。（答案中可以保留 ）
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
思路
用上方小圆锥的高作为变量；相似关系同时给出圆柱半径与内切球半径，体积和便化成一元三次函数。
解答
设圆柱上方小圆锥的高为 ，则 ，圆柱高为 。原圆锥母线长为 ，由相似关系，圆柱半径为
原圆锥内切球半径为
所以小圆锥内切球半径为
于是体积和为
求导得
因此最大值在 处取得，且
复核
；导数在该点左右分别为正、负，故不是端点极值。相似比例也给出 ，与上述两个半径公式一致。
方法总结
旋转体内接问题应选择能同时控制各部分的线性尺度。本题用小圆锥高后，所有半径都由相似关系线性表示，体积自然成为三次函数。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需用上部小圆锥高度同时表达圆柱半径和内切球半径，再对合成三次体积函数求极值。
已记下，谢谢！