培玉 · 一试
2025 年广西预赛
对数方程下绝对值差的最小值
F3填空题幂指对
若
则 的最小值是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
先用对数定义域确定 ，再把方程化成双曲线约束；令 后， 目标的下界可直接配成完全平方。
解答
定义域要求 且 ，故 。原方程等价于
即
令 ，则
而
两边待比较的量均为正，故
当 时等号成立，所以最小值为
复核
等号时 ，且 ，满足两个对数真数均为正。
方法总结
两个同底对数之和先合并为乘积，再结合定义域选择根号的正支。 根式与一次式的最值可通过平方差配方，同时检查平方前两边的符号。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
定义域先保证x>2|y|，合并后才能将目标化为sqrt(5+4t²)−t，选择适配平方下界并验证取等。
已记下，谢谢！