易混 2022 年全国高中数学联赛一试（A1 卷） 第 11 题 · P007209
两题都给正整数数列的全局规则，但规则内部的量词不同。对全部两下标的平方和乘积恒等式，可选特殊下标配合强归纳强制每项；每个新项只需存在一个合法连续和时，则保留很多构造选择，须先求统一界再证一个无限构造取等。
不能把存在某个后缀和擅自加强成任意后缀都行，也不能按自由选项的思路处理全称下标恒等式；正整性分别用于强制乘积和控制连续和。
培玉 · 一试
2022 年四川预赛
平方和下标数列的通项
F5解答题数列综合
已知正整数数列 满足：对任意正整数 ，都有
求数列 的通项公式。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
只用勾股恒等式和强归纳法。正整数值条件负责从乘积1推出两项各为1，换成正实数就不能这样推。
想法从哪来：先代最小下标求初值，再尝试把任意目标项接入题给的两种平方结构。 仅对 本身做平方和分解不够，因为有些整数不能写成两个正平方和。改让 作勾股数组的一条直角边，便能将 乘上另一项，等于斜边项的平方。 关键不是要求勾股数组都小于 ，而是让斜边这个下标能由更小正整数的平方和算出。奇偶两种标准勾股构造恰好满足这个需求。一旦斜边项由强归纳得到1，正整数乘积等于1就迫使目标项为1，另一条大边无需预先求出。
先由最小下标求出 。要把结论推广到任意 ，分别把奇数和偶数 放进标准勾股数组；斜边下标又可表示成两个更小整数的平方和，从而形成强归纳下降。
解答
在 中取 ，由 为正整数得
再在第二个条件中取 ，得
下面对 作强归纳，证明 。设 ，且对所有正整数 已有 。
若 为奇数，令
则
又有
两个括号内的正整数都小于 ，故由归纳假设及第二个条件
于是
由于 均为正整数，必有 。
若 为偶数，写成 。当 时 ，令
则
并且，由 的归纳假设，
。因此同样有
从而 。
归纳完成，故唯一可能的通项为
复核
奇数情形中 ，偶数情形中 ，所有下标均为正整数。常数数列 直接满足两条原条件，故必要性与充分性均已完成。
方法总结
下标含平方和的数列方程提示使用勾股数组。证明常数性时，不必让勾股数组的每个成员都小于 ；只需让斜边下标能由更小下标的平方和算出，再利用正整数乘积等于 强制目标项为 。
为什么评为 F5（会透露解法方向）
需按n奇偶构造以n为直角边的勾股数，并把更大斜边下标另写成较小整数平方和，借正整数乘积为1完成归纳。
用到的方法（会透露解法方向）
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