培玉 · 一试
2026 年浙江预赛
二乘八网格中的无重复定长路径
F3填空题经典的计数模型
如图由 个单位正方形组成网格。现从 点沿网格线移动到 点，要求：
- ①
只允许向右、向上、向下移动；
- ②
路径长度为 个单位；
- ③
路径上无重复的点。
则这样的路径数目为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
横向位移迫使路径恰有 次向右和 次竖直移动。
思路
先列出四次竖直移动的合法上下顺序， 再把它们放入从 到 的九条竖直网格线上；“无重复点”只限制同一列内不能 立即折返。
解答
从 到 的水平位移为 ，又不允许向左，所以路径中恰有 次向右移动。 总长度为 ，故另有 次竖直移动，其中向上、向下各两次。
从中间一层出发并回到中间一层，且不越出两行网格，四次竖直移动的方向顺序只有
九条竖直网格线的横坐标为 。给四次竖直移动指定其所在列，就唯一确定 它们与八次向右移动的交错方式。
对 ，相邻竖直移动方向都相反；若放在同一列便会立即回到已经经过的点， 所以必须选四个互不相同的列，各有
种。对 ，除四列互异的情形外，中间两个连续向下移动可以同列完成，此时从九列中 选三个不同的列即可；故有
种。 同理。因此路径总数为
复核
若同一列含两个同向竖直步，它们依次经过三层不同顶点，符合要求；任何一列含一次上、一次下 都会返回旧点，已经排除。不同列的顶点横坐标不同，不会产生跨列重复。
方法总结
不能向左的窄条网格路径，可先固定竖直步的方向词，再把竖直步按非降次序分配到各列。 自避条件随后转化为同列竖直步能否组成不回头的单调段。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
水平步数固定后只剩四竖步，需按四种方向序列区分同向双步可同列而反向不可同列，将不重复条件转成选列限制。
已记下，谢谢！