2008 年黑龙江预赛 · 第 16 题

解答

取 $A=(0,0,0),B=(1,0,0),C=(1,1,0),D=(0,1,0)$，设 $A{A}_1=C{C}_1=h$。截平面过 $B$，所以它的方程为 $z=h(1-x+y)$，在 $D$ 处高度为 $2h$。该平面与底面的夹角正切为 $\sqrt{h^2+h^2}=\sqrt{2}h$，由四十五度得 $h=1/\sqrt{2}$。单位正方形上此线性高度的平均为 $h$，于是 $\boxed{V=1/\sqrt{2}=\sqrt{2}/2}$。