易混 2022 年吉林预赛 · P006852
两题都能用反射将大部分根配成对，但根数奇偶还受固定点与未配对端点的水平值影响。不能由图象对称直接断言根数为偶数，必须把这两类特殊点的贡献一并计算。
两个函数的固定点取值不同，半开区间所保留的端点也不同，因此相似的反射关系会给出不同的奇偶结论。
培玉 · 一试
2024 年吉林预赛
F3填空题三角函数的图象与性质
设函数 。若关于 的方程 在 上有奇数个不同实数解，则实数 的值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
利用函数关于 的对称性配对根，只需检查对称中心和不成对的端点。
解答
有 。对 ，根都按 成对，除非 ；而 ，故 时根数为奇数。对 ，在 上的根为 ，也有 个。因此
复核
当 时既没有端点 也没有固定点 ，所有根必成对。
方法总结
判断方程根数的奇偶性时，对称配对比完整求根更直接，但要单独检查固定点与半开区间端点。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
关键是用x与pi-x配根，把奇数根来源缩到固定点pi/2与单独端点pi，分别处理零值。
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