2025 年中科大少年班入围考 · 第 4 题

解答

两边向量对应 $z^2-z=z(z-1)$ 和 $z^3-z^2=z^2(z-1)$。直线 $AB,BC$ 有定义要求 $z\ne 0,1$。在此前提下，两边向量的复比值为 $z$。它们垂直当且仅当这一比值为非零纯虚数，所以全部解是 $\boxed{z=it,t\in \mathbb{R}\setminus \{0\}}$。