2013 年黑龙江预赛 · 第 22 题

解答

（1）设 $h(x)=\ln (1+x)-x/(1+x)$，则 $h(0)=0$，$h^{\prime }(x)=x/(1+x{)}^2>0$。所以 $f^{\prime }(x)=-h(x)/x^2<0$，$\boxed{f\text{ 在正半轴严格递减}}$。（2）其在零的右极限为一，在无穷远的极限为零，故值域为 $(0,1)$。所需条件为 $a>f(x)$ 对所有正数成立，恰当 $\boxed{a\ge 1}$。（3）特别有 $\ln (1+1/n)<1/n$，乘正数 $n$ 再取指数得 $\boxed{(1+1/n{)}^n<e}$。