2025 年上海预赛

解答

若一个网格矩形的长、宽为正整数 $x,y$，它严格位于另一个网格矩形内部，则外矩形的长、宽分别至少为 $x+2,y+2$。

（1）若某个 $S_i=333=3^2\cdot 37$，由于两条边均不超过 $45$，该矩形的边长只能是 $9$ 与 $37$。在它内部还要放置 $i-1$ 层矩形，短边给出

所以 $i\le 5$。在它外部还要放置 $10-i$ 层矩形，长边给出

所以 $i\ge 6$。矛盾，故每个 $S_i$ 都不等于 $333$。

（2）先证上界。若 $m>90/49$，由于 ${\Gamma }_4$ 的两条边都至少为 $7$，有 $S_4\ge 49$，从而

${\Gamma }_5$ 的两条边都至少为 $9$。两个不小于 $9$ 的正整数之积若严格大于 $90$，最小只能是 $9\cdot 11=99$，故 $S_5\ge 99$。于是

这与 $S_{10}\le 45^2=2025$ 矛盾。因此

下面构造取到等号的情形。依次取十个矩形的边长为

相邻两组边长均分别至少增加 $2$，故可在 $45\times 45$ 方格表中逐层严格内含地放置。相应面积为

九个相邻面积比依次为

其中最小值为 $90/49$。结合（1），得到