2026 年甘肃预赛

相邻差全排列的端点极值

F5解答题组合计数综合

若数列 $A : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 满足以下两个性质，则称 $A$ 为 $T$ 数列：

①
$a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 是 $1, 2, \dots, n$ 的一个排列；
②
$∣ a_{2} - a_{1} ∣, ∣ a_{3} - a_{2} ∣, \dots, ∣ a_{n} - a_{n - 1} ∣$ 是 $1, 2, \dots, n - 1$ 的一个排列。

(1)
若数列 $A : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{7}$ 为 $T$ 数列且 $a_{1} = 1$ ，直接写出数列 $A$ ；
(2)
若数列 $A : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{20}$ 满足 $a_{1} = 3, a_{20} = 18$ ，求证：数列 $A : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{20}$ 不是 $T$ 数列；
(3)
对于给定的整数 $n \geq 2$ ，若数列 $A : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 为 $T$ 数列，求 $a_{1} + a_{n}$ 的最小值。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

为什么评为 F5（会透露解法方向）

前两问较直接，第三问需把所有相邻差之和转成跨越各整数切口的边数，再由端点位置限制总跨数并构造恰达界的交替排列。

用到的方法（会透露解法方向）