培玉 · 一试
2011 年中科大少年班初试 · 第 7 题
F2选择题向量的数量积与几何意义
已知向量，若，则的最小值为（ ）
作答
标准答案：B
解析
提示
向量等式先拆成两个坐标方程。
思路
三个未知系数受到两个独立约束，剩下一个自由参数，平方和最值便是一元二次式的配方。
解答
比较向量等式的两个坐标：
令 ，则
因此
在 时达到下界，故最小值为 ，选 。
复核
等号系数为 ，代回两个坐标方程均成立。A的1小于严格下界；C的 、D的2均大于可实现的最小值，故都不是正确选项。
方法总结
线性向量约束下的系数平方和，先用坐标把自由度降到一维，再完成平方；等号系数必须代回原向量等式。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
按坐标化两约束，和差换元后仅二次函数求最值。
已记下，谢谢！