2010 年辽宁预赛 · 第 15 题

解答

记两圆半径为 $R>r$，$\lambda =r/R\in (0,1)$。以 $P$ 为中心、比为 $\lambda$ 的正位似将大圆映为小圆，分别将 $A,B$ 映为 $E,F$，故 $EF\Vert AB$。反位似将小圆在 $C$ 处切线 $AB$ 映成大圆在 $G$ 处的切线，其中 $G=P+(C-P)/\lambda$，正是 $PC$ 的另一大圆点。因此 $G$ 处切线平行于弦 $AB$，得 $\boxed{G\text{ 为不含 }P\text{ 的 }AB\text{ 弧中点}}$。为证明第二问，将大圆归一为单位圆，旋转使 $G=(0,1)$。用参数

因 $AB$ 平行于 $G$ 处切线，可令 $A=X(a),B=X(-a)$，再记 $P=X(p)$。令直线 $GF$ 与大圆的另一交点为 $H^{\prime }=X(h)$。参数为 $u,v$ 的弦方程为

由 $F\in BP\cap G{H}^{\prime }$，得

又 $D\in PG$ 且 $DF\Vert AB$，故 $y_D=y_F,x_D=(h/p)x_F$。代入 $A{H}^{\prime }$ 的弦方程，

因为左边减右边等于

所以 $A,D,H^{\prime }$ 共线，$H^{\prime }$ 必为原定义的另一圆点 $H$，从而 $\boxed{G,F,H\text{ 共线}}$。