易混 2018 年全国高中数学联赛一试（B 卷） 第 9 题 · P007354
两题都含不断升高的幂，但应先辨认底数与指数各自扮演什么角色。固定有限幂和要逐项检查底数绝对值与一的关系；二次递推则需先寻找平移后的幂结构，再比较相邻项跨越条件。
前者的重点是例外底数与可能振荡的项，后者的重点是递推化简和第一次满足严格界。看到高次幂不能直接套用同一种趋近判断。
培玉 · 一试
2013 年天津预赛 · 第 10 题
F3填空题数列与函数的极限
设
则 等于。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
这是固定有限项的幂之和。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
先找哪些余弦等于 或 ，其余绝对值小于一的项都会趋于零；阶乘可被哪些数整除决定了例外项的起点。
解答
分解 ，其中 为素数。 当 时，，所以 不是整数。由 当且仅当 为 的整数倍，得到
故这部分各项的 次幂都趋于零。
当 时，。又因 为奇数而 为偶数，整数 必为偶数，因此
总共只有固定的 项，可以逐项取极限。于是
复核
阈值前没有余弦为 的项，因为其出现也要求 为整数；阈值及之后的整数商均为偶数，故也没有 项。这里求和项数不随 增长，有限和取极限合法。
方法总结
有限个常数的高次幂求和，先分出绝对值小于一、等于一以及可能振荡的负一三类。角中含阶乘时，用分母的素因数确定进入整数倍角的阈值。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
有限幂和极限先区分底数绝对值小于一、等于一及可能振荡的负一；阶乘可整除分母的最早指标由素因数确定，还要判整数商奇偶并说明固定有限和可逐项取极限。
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垫脚石（相关题 → 此题） 2024 年全国高中数学联赛一试（B 卷） 第 9 题 · P014054
都可先把需要取极限的式子归结为固定有限个底数的高次幂，再逐个检查底数的模及边界符号。
等比求和先在有限下标得到余项，底数由公比域限制；三角幂和直接有固定项数，还需检查正一保留与负一振荡及阶乘阈值。
已记下，谢谢！