2008 年天津预赛 · 第 7 题

解答

令 $\theta =x\pi /180$，则 $0\le \theta \le \pi /2$，函数写成 $F(\theta )=\sin (\theta +\pi /4)/\sin (\theta +\pi /3)$。分母相位在 $[\pi /3,5\pi /6]$，始终为正。求导得

因此最小值为 $F(0)=\sqrt{2}/\sqrt{3}$，最大值为 $F(\pi /2)=\sqrt{2}$，两者乘积为 $\boxed{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$。