一试训练题

解答

定义域为 $x>-2$。由 $x+1\in B_x$，或有 $x=0$，或有 ${\log }_2(x+2)=x+1$。令 $y=x+2>0$，后式为 ${\log }_{2}y=y-1$。函数 $h(y)={\log }_{2}y-y+1$ 的二阶导数为 $-1/(y^2\ln 2)<0$，一阶导数仅在 $1/\ln 2$ 变号，故至多有两个零点；已知 $h(1)=h(2)=0$，零点恰为1、2，对应 $x=-1,0$。代回：$x=-1$ 时两集分别为 $\{-1,0\}$、$\{1,0\}$；$x=0$ 时两集为 $\{0,1\}$、$\{1\}$，均符合。所求为 $\boxed{-1}$。