2012 年河北预赛（高三卷） · 第 3 题

解答

余弦定理给 $a^2-(b-c{)}^2=2bc(1-\cos A)$，而面积为 $bc\sin A/2$。因 $b,c>0$，题设等价于 $\sin A=4(1-\cos A)$。利用半角公式得 $2\sin (A/2)\cos (A/2)=8{\sin }^2(A/2)$。非退化三角形满足 $0<A/2<\pi /2$，可除以正的 $2\sin (A/2)$，所以 $\boxed{\tan (A/2)=1/4}$。