同一骨架 2018 年中科大少年班初试 第 1 题 · P009959
两题都先找到一个低次幂恢复单位方向或单位元，再按该周期归约很大的指数。复数幂要把模长另存，二次整数环的同余则按两个系数分别计算，周期成立的环境不能混用。
一个求完整复数幂，另一个只求两个整数系数的同余。
培玉 · 一试
2026 年北京预赛
F3填空题数论
设
其中 是整数，则 除以 的余数为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
直接展开幂不可行；共轭后只需在模 的二次环中计算 。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
低次幂很快出现周期。
解答
取共轭得
在模 的环中计算：
从而
因此
由于 ，
比较 的系数，得 、，故
复核
二次环中的同余可逐项比较整数系数；共轭式中的 符号已由负号改为正号。 又 ，四次幂到五次幂的周期计算无除法步骤。
方法总结
形如 的系数同余，通常先在 中寻找低阶周期。共轭与范数为 时，某个低次幂常直接变成逆元。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需利用共轭幂控制两个整数系数，并发现模19下单位元的短周期，将2026次幂压缩后再取系数积。
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