易混 2025 年全国高中数学联赛一试（B 卷） 第 10 题 · P007127
两题都必须把绝对值轨迹拆支并统计实际不同交点，判别式只解决每个代数方程的实根情况。共享端点、分支根号方向与降次值，会使相似的斜率运算得到不同的许可集合。
前题有始终固定的交点，并含圆弧与双曲线支；后题须让左右两支分别产生两个合符号的根，斜率为零时方程降次，不能只看正判别式。
培玉 · 一试
2023 年上海高中数学竞赛（高三卷）
F4填空题解析几何综合
已知曲线 的方程是
若过点 的直线 与曲线 恰有三个不同的交点，则 的倾斜角的取值范围是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
含绝对值的隐式曲线须附各象限符号限制；斜率函数的水平线交点数可由单调区间确定，极限值不一定达到。倾斜角取[0,π)，k=tanθ。
想法从哪来：先按象限拆开绝对值，曲线并不是一条完整圆或双曲线；交点计数必须在各段真实的定义域内进行。所有直线已过A，可把A先统一记一次，再统计每一分支额外贡献。对圆弧，弦斜率的取值范围即可计数；对第二象限双曲线，把斜率写成横坐标函数，研究它的极小值和两端极限，才能看出何时有两个交点；第四象限则用已知根A约掉后的另一根判位置。拼合时坐标轴上的公共端点只能计一次，切点也只算一个不同交点。最后才把负斜率的范围换成倾斜角，竖直线另核。
按象限拆开绝对值，曲线由第一象限单位圆弧、第二象限双曲线支和第四象限双曲线支组成。用过 的弦斜率分别统计三个分支上的交点个数。
解答
设非竖直直线为 。除公共点 外：
在第一象限圆弧 上，
故 时恰有一个额外交点， 时交于 。
在第二象限支 上，令
在 处取最小值 ，在 处为 ，且当 时趋于 。所以
时该支有两个交点；两个端点斜率分别只给出一个交点。
在第四象限支 上，代入直线并除去根 ，另一根为
它落在 且 上当且仅当 。
综上，恰有三个不同交点当且仅当
若倾斜角为 ，则
复核
时只有 两个不同交点； 时第二象限支相切，也只有两个交点。竖直线 只交于 ，故均不计入答案。
方法总结
含 、 的曲线应先按象限拆分。统计直线交点时，公共端点、相切点和渐近极限都必须单独处理，最后再把斜率区间转换成倾斜角区间。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
需先识别三个象限中的不同曲线支，再分别判断额外交点的斜率范围，区分公共端点和渐近方向后合并恰好三点的情况，分支间存在实质去重判断。
联系 · 2 条
易混 2022 年四川预赛 · P006891
带符号平方的曲线要先按象限拆开，才能使用圆或双曲线的公式。求值域时合并各支的像；数直线交点时则要分支计数，并对公共端点、切触与渐近极限去重。
前题经比例换元后只研究坐标和，再处理外层绝对值；后题固定过一点的直线，要求某个不同交点数，不能把各支当完整圆锥曲线直接累加。
已记下，谢谢！