2011 年河南预赛 · 第 9 题

解答

（1）$f^{\prime }(x)=3x^2-a$。若 $0<a\le 3$，导数在一以上非负且至多在端点为零，函数严格递增；若 $a>3$，在一右侧先降、之后又升，不单调。因此 $\boxed{0<a\le 3}$。（2）令 $y=f(x_0)$，题设给 $x_0,y\ge 1$ 且 $f(y)=x_0$。若 $y>x_0$，递增性给 $f(y)>f(x_0)=y$，与 $f(y)=x_0$ 矛盾；若 $y<x_0$ 同理矛盾。所以 $\boxed{f(x_0)=x_0}$。