2025 年广东预赛

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=a_2=1$， $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$，$n\in {\mathbb{N}}_{+}$。则（ ）（本题为多选题）

1. A.

   只存在有限个正整数 $m$，使得 $a_m$ 与 $a_{m+1}$ 互素；

2. B.

   至少存在一个正整数 $m$，使得 $a_{m+2}{a}_m=a_{m+1}^2$；

3. C.

   存在无穷多的正整数 $p,q$，使得 $a_p{a}_q-1$ 为完全平方数；

4. D.

   存在无穷多的正整数对 $(m,n)$，使得 $a_m\mid a_n^2+1$，且 $a_n\mid a_m^2+1$。

极限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{n^2}\right)=$。

设双曲线 $C:x^2-\frac{y^2}{4}=1$，$P_1\left(\frac{5}{4},\frac{3}{2}\right)$ 在 $C$ 上。按照如下规则构造点列 $\{P_n\}(n\ge 2)$：过 $P_{n-1}$ 作斜率为 $1$ 的直线交 $C$ 于另一点 $Q_{n-1}$，$Q_{n-1}$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $P_n$，记 $P_n(x_n,y_n)$。求证： （1）数列 $\{2x_n-y_n\}$ 是等比数列； （2）$△P_n{P}_{n+1}{P}_{n+2}$ 的面积为常数。