2011 年中科大少年班初试 · 第 13 题

解答

由 $f(1)=1$ 得 $a+b=2$，由 $f(1/2)=2/3$ 得 $a/2+b=3/2$，解得 $a=b=1$。故 $x_{n+1}=2x_n/(x_n+1)$。初值与递推保证各项正，令 $y_n=1/x_n$，得到 $y_{n+1}=(1+y_n)/2$，$y_1=2$。所以 $y_n=1+2^{1-n}$，即

于是

利用 $1+t<e^t$（$t>0$），有 ${\prod }_{j=1}^n(1+2^{-j})<\exp ({\sum }_{j=1}^n{2}^{-j})<e$。因此