2012 年山西预赛 · 第 6 题

解答

将三个正整数等比项按升序排列，设既约公比为 $v/u>1$，则可写为 $k{u}^2,kuv,k{v}^2$，其中 $u<v$、$\gcd (u,v)=1$、$k$ 为正整数。因此其和必为 $k(u^2+uv+v^2)$。当总和不超过三十六时，若 $u\ge 3$，核至少为 $3^2+3\cdot 4+4^2=37$，不可能。枚举 $u=1,2$，全部允许核为 $7,13,19,21,31$。对 $n=1,2,3,4,5$，数 $7n+1$ 分别为 $8,15,22,29,36$，均不被这些核整除，故不合要求。$n=6$ 时，

两组都是互异正整数等比项。因此最小正整数为 $\boxed{6}$。