易混 2023 年上海高中数学竞赛（高三卷） · P006750
两题都出现有理公比和整数要求，整性所在的位置却不同。逐项为整数时应控制既约分母在各项中累积的幂；只有某个商为整数时，应先界定商的整数范围，再检查参数方程能否有有理根。
不能由整数条件直接断言公比为整数，也不能把逐项整性所需的分母整除强加到仅约束一个比值的题中。
培玉 · 一试
2022 年甘肃预赛
等差等比数列与有理公比
F3填空题等比数列与等差数列
已知等差数列 的公差 不为 ，等比数列 的公比 是小于 的正有理数。若 ，，且
是正整数，则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
会在分子、分母中约去，整数条件只约束有理数 。
思路
先把整数值限制在有限范围，再利用二次方程有有理根时判别式为平方数逐一筛选。
解答
由 及公差为 ，有 ；又有
故题设整数记为 时，
因为 ，所以 ，即
数 是整系数二次方程
的有理根，故判别式
必须是完全平方数。对 ，相应数值依次为
其中只有 是完全平方数，对应 。于是
结合 ，得到
复核
代入 ，有 ，确为正整数；另一根 不符合正公比条件。
方法总结
有理参数使表达式为整数时，先用参数范围把整数值压缩到有限集合；随后把参数看成整系数方程的有理根，用判别式平方条件完成离散筛选。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
先消去d后需把整数值N限制到5至13，再由q有理迫使N(56-3N)为平方；识别这一有理根约束后枚举明确。
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