2010 年中科大少年班初试 · 第 15 题

F3解答题递推数列

设函数 $f (x) = (x + m) / (x + 1)$ ，且存在函数

s = φ (t) = a t + b (t > 1/2, a > 0),

满足 $f ((2 t - 1) / t) = (2 s + 1) / s$ 。

(1)
证明：存在函数 $t = ψ (s) = cs + d (s > 0)$ ，满足 $f ((2 s + 1) / s) = (2 t - 1) / t$ ；
(2)
设 $x_{1} = 3, x_{n + 1} = f (x_{n}) (n = 1, 2, \dots)$ ，证明： $∣ x_{n} - 2∣ \leq 1/ 3^{n - 1}$ 。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

为什么评为 F3（会透露解法方向）

须独立由一族t的恒等式反求参数，再借两侧互换建立奇偶递推；无提示误差衰减不能当作直接代入。

用到的方法（会透露解法方向）