2021 年中科大少年班初试 · 第 8 题

解答

构造 $H_0=1,H_1=x$，并令 $H_n=x{H}_{n-1}-2H_{n-2}$。归纳得 $H_n$ 是首一的 $n$ 次整系数多项式。记 $D_n=H_{n-1}^2-H_n{H}_{n-2}$，则 $D_2=2$，且由线性递推得到

所以 $D_n=2^{n-1}$，亦即 $H_{n-1}^2-2^{n-1}=H_n{H}_{n-2}$。故题设递推的分子在多项式环中被分母整除，商恰为 $H_n$，所以 $g_n=H_n$ 是所述整系数多项式。 取 $x=2\sqrt{2}\cos \theta$，其中 $0<\theta <\pi$。由初值及正弦和差公式归纳得

因此 $\theta =k\pi /(n+1)$，$k=1,\dots ,n$ 给出 $n$ 个互异实根。它们已达到多项式次数，故全部根为