2026 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 11 题

F4解答题数列综合

（本题满分 $20$ 分）给定整数 $q (∣ q ∣ \geq 2)$ 。求最小的正整数 $m$ （用 $q$ 表示），使得存在满足下述条件 (i) 和 (ii) 的实数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}$ ：

(i) 对任意 $k = 1, 2, \dots, m - 1$ ，都有 $∣ a_{k + 1} - a_{k} ∣ = 1$ ；

(ii) 存在正整数 $i_{1}, i_{2}, \dots, i_{10} (i_{1} < i_{2} < \dots < i_{10} \leq m)$ ，使得 $a_{i_{1}}, a_{i_{2}}, \dots, a_{i_{10}}$ 成公比为 $q$ 的等比数列。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

为什么评为 F4（会透露解法方向）

须连接非零整数首段差、逐段长度下界和正负公比统一的达到构造，完成必要性与充分性。

用到的方法（会透露解法方向）