2009 年湖北预赛 · 第 4 题

解答

记 $u=\overrightarrow{AB},v=\overrightarrow{AC},w=\overrightarrow{AO}$，令 $c=\cos A$。则 $|u|=6,|v|=10,u\cdot v=60c$。 由外心等距，

将 $w=xu+yv$ 代入第二式并除以10，得

与题给 $2x+10y=5$ 相减，

若 $x=0$，则 $y=1/2$，即 $O$ 为 $AC$ 的中点，$AC$ 是外接圆的直径，$\angle B=90^{\circ }$，与锐角三角形矛盾。 故 $x\ne 0$，于是