2025 年福建预赛

解答

记双曲线的半焦距为 $c$，则 $F_1{F}_2=2c$，$O{F}_1=O{F}_2=c$。 因为 $O$ 是 $F_1{F}_2$ 的中点且 $BO\Vert A{F}_2$，所以在三角形 $A{F}_1{F}_2$ 中， $B$ 是 $A{F}_1$ 的中点。由 $A{F}_1=F_1{F}_2=2c$，得到

又因 $A{F}_1=F_1{F}_2$、$F_{1}O=F_{1}B$，且两三角形在 $F_1$ 处的夹角相等， 所以

若 $B$ 在双曲线右支，则 $B{F}_1-B{F}_2=2a$，从而 $AO=B{F}_2=c-2a$。但三角形 $A{F}_{1}O$ 的三边将满足 $O{F}_1+OA=c+(c-2a)<2c=A{F}_1$，矛盾。因此 $B$ 在左支，故

点 $A$ 在第一象限的渐近线 $y=(b/a)x$ 上，因此

在三角形 $A{F}_{1}O$ 中使用余弦定理，得

整理得

令离心率 $e=c/a>1$，则

故