易混 2010 年安徽预赛 第 6 题 · P009665
两题都可把三个等差项围绕同一基准项展开，但附加条件的接口不同：指定项又成等比时要联立乘积关系并核后续同一公比；指定方程根时要匹配整组三次因式，并反向证明系数条件足够。
看到三个等差数不能只套一个中项公式；一个约束的是数列中的项号，另一个约束的是多项式的系数与全部实根。
培玉 · 一试
2025 年山东预赛
等差数列中特殊项构成等比数列
F2填空题等比数列与等差数列
在递增的等差数列 中，若 依次成等比数列，则整数 的值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
用等比中项关系先确定等差数列的首项结构，再对后三项使用同一关系。
解答
设 ，公差为 。由 依次成等比数列，
故 ，从而 。于是 。再由 依次成等比数列，
所以 。
复核
保证数列递增且可约去 ；当 时， 的确依次成等比数列。
方法总结
等差数列中的若干项又成等比数列时，将各项统一写成一个基准项与公差的线性式，等比中项关系会迅速给出下标条件。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
取中间项和正公差为参数，两次使用等比中项关系即可；递增保证约去公差合法。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：围绕中项展开，等差根平移、设首项和公差（公比）
专题卡：等差和等比同时出现的题：统一用一组未知数列方程，再排除错误情况、等差相邻项的式子和方程根成等差：选中间项展开，比较系数
联系 · 1 条
已记下，谢谢！