2025 年甘肃预赛

解答

1. (1)

   因椭圆经过 $(4,0)$ 且 $a>b>0$，所以 $a=4$。又

   $$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2},$$

   故 $c=2\sqrt{3}$，从而 $b^2=a^2-c^2=4$。所以

   $$\boxed{\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1}.$$
2. (2)

   设 $Q=(u,v)$，则

   $$u+2v=8.\text{\hspace{1em}(1)}$$

   椭圆在点 $(x_0,y_0)$ 处的切线为

   $$\frac{x_{0}x}{16}+\frac{y_{0}y}{4}=1.$$

   若此切线经过 $Q$，则切点 $(x_0,y_0)$ 满足 $u{x}_0+4v{y}_0=16$。因此两个切点 $M,N$ 所在直线为

   $$ux+4vy=16.\text{\hspace{1em}(2)}$$

   由 (1) 写成 $u=8-2v$，则 (2) 等价于

   $$4x-8+v(-x+2y)=0.$$

   令 $4x-8=0$ 且 $-x+2y=0$，得到

   $$T=(2,1).$$

   故存在定点 $T$ 恒在 $MN$ 上。

   当 $\overrightarrow{MT}=\overrightarrow{TN}$ 时，$T$ 是弦 $MN$ 的中点。 椭圆 $x^2/16+y^2/4=1$ 中，以 $(h,k)$ 为中点的弦所在直线为

   $$\frac{hx}{16}+\frac{ky}{4}=\frac{h^2}{16}+\frac{k^2}{4}.$$

   代入 $(h,k)=(2,1)$，得

   $$\boxed{x+2y-4=0}.$$

   此直线对应 (2) 中的 $Q=(4,2)$，它满足 (1) 且位于椭圆外，故两条实切线确实存在。