2022 年甘肃预赛

解答

抛物线焦点为 $F=(0,p/2)$。设

则抛物线在 $P$ 处的切线为

（1）将 (1) 与 $x-y-\sqrt{2}=0$ 比较，得 $t=1$ 且 $p/2=\sqrt{2}$，所以 $p=2\sqrt{2}$。所求抛物线为

（2）直线 (1) 与单位圆相切，故原点到它的距离为 $1$：

记 $s=\sqrt{1+t^2}$，则 $t\ne 0$ 且

相切点是原点在直线 (1) 上的垂足，故

用行列式计算面积，得到

结合 (2)，

由均值不等式，

且在 $t^4=2$ 时等号成立。因此