易混 2021 年重庆预赛 · P006943
两题最终都要在指定范围内保证二次函数严格为正，但这个范围必须由原量词推出来。“至少一个为正”只需在另一个非正的区域检查；三角换元的全称条件则要覆盖完整可达区间。
一题的受检集合是由线性函数符号确定的半轴，另一题是正弦值的闭区间；顶点跨边界时最小值位置都要重判。
培玉 · 一试
2026 年中科大少年班入围考 · 第 7 题
F2填空题函数综合
若对任意，都有
则实数的取值范围为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
正弦换元将全称三角不等式化成闭区间上的二次函数恒正。
思路
顶点随参数移动，最小值需要分区间比较，并保留严格号。
解答
令 ，条件等价于
若 ，则 ，不合。若 ，顶点 在区间内，最低值 必须严格为正，结合本段得 。若 ，顶点在区间右侧，最低值 ，全部合法。因此范围为
复核
下端参数使顶点处最低值恰为零，而该正弦值在 内能取到，所以严格不等式要求排除端点。所有更大参数在对应分段内最低值均严格为正，不存在额外上界。
方法总结
全称三角不等式先确认换元值域是闭区间；参数顶点跨越端点时分别求最小值，最后再合并严格条件。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
sinx换元提示明显，参数分界直接由顶点a/4与[-1,1]比较给出；最难处是严格最小值条件及端点并集，仍是常规模型。
联系 · 2 条
易混 2018 年河北预赛（高二卷） 第 7 题 · P009893
三角不等式都可用单位圆关系降到有界代数变量，但分式的不等式不能直接照搬无分母情形的化简。乘除、平方前要先保住原分母的符号与禁点，再决定可行区间及端点。
一题逐点求可行角并保留同号条件，另一题要求对所有角成立而比较闭区间上的最小值；这两个量词也不能混用。
已记下，谢谢！