2023 年江西预赛

解答

（1）原递推等价于 $\left(a_n+1/\sqrt{n}\right)\left(a_n-a_{n-1}-1/\sqrt{n}\right)=0$。 正项条件排除第一因子为零，故$a_n=a_{n-1}+1/\sqrt{n}$，从而 $\boxed{a_n=\sum _{i=1}^{n}1/\sqrt{i}}$。 （2）把$b_i$升序排列为$c_1<\cdots <c_n$，有$c_i\ge i$。 若$i<j$却$b_i>b_j$，交换二者使加权和减少 $(1/i-1/j)(\sqrt{b_i}-\sqrt{b_j})>0$。反复交换直到升序排列，得到