2014 年湖北预赛 · 第 12 题

解答

设 $A=N+\mathbf{d},B=N-\mathbf{d}$。两点满足同一二次式，相减得 $d_x=d_y$，可令 $\mathbf{d}=t(1,1)$。因弦有两个不同端点，$t\ne 0$，所以 $\lambda =-1+t^2/2>-1$；又 $\lambda =0$ 时方程为两条相交直线而非非退化双曲线，故 $\boxed{\lambda \in (-1,0)\cup (0,+\infty )}$。垂直平分线方向为 $(1,-1)$，其点写成 $N+s(1,-1)$ 后满足 $s^2+8s-2(\lambda +1)=0$，在此域有两个不同实根，所以 $C,D$ 存在。四点都在两直线并集 $(y-2{)}^2-(x-1{)}^2=0$ 上，并满足 $x^2-y^2/2=\lambda$。由恒等式 $x^2+y^2+6x-12y+9-4\lambda =4(x^2-y^2/2-\lambda )+3((y-2{)}^2-(x-1{)}^2)$，知四点同在圆 $\boxed{x^2+y^2+6x-12y+9-4\lambda =0}$ 上。