2021 年广西预赛

设 $f (x)$ 在区间 $I$ 上有定义。对任意 $x_{1}, x_{2} \in I$ 、 $t \in [0, 1]$ ，不等式

f ((1 - t) x_{1} + t x_{2}) \leq (1 - t) f (x_{1}) + t f (x_{2})

总成立。设 $n \geq 2$ ，对 $1 \leq i \leq n$ ， $x_{i} \in I, p_{i} \geq 0$ ，且 $\sum_{i = 1}^{n} p_{i} = 1$ 。求证：

f (i = 1 \sum n p_{i} x_{i}) \leq i = 1 \sum n p_{i} f (x_{i}) .

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

为什么评为 F2（会透露解法方向）

合并前n-1项为归一后的单点，再套二点条件；唯一边界是末权重为1时须单列避免除零。

用到的方法（会透露解法方向）

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