2012 年天津预赛 · 第 13 题

解答

（1）记 $A=a^2,B=b^2$。半焦距二给 $A+B=4$，切线为 $y=2x-1$。联立的二次方程取重根，等价于 $1=4A-B$，于是 $A=1,B=3$，方程为 $\boxed{x^2-y^2/3=1}$，切点为 $P=(2,3)$。（2）从 $P$ 指向两焦点的单位向量分别为 $(-4/5,-3/5)$ 与 $(0,-1)$，和为 $(-4/5,-8/5)$。它与 $\overrightarrow{PQ}=(-3/2,-3)$ 同向，而两个单位向量的和正是它们夹角的内部平分方向。因此 $\boxed{\angle F_{1}PQ=\angle F_{2}PQ}$。