2013 年黑龙江预赛 · 第 20 题

解答

令 $q=(2t+3)/(3t)=2/3+1/t>0$，原式为 $S_n=q{S}_{n-1}+1$。在 $n=2$ 时 $a_2=q$，对后续相邻式作差得 $a_n=q{a}_{n-1}$，故 $\boxed{a_n=q^{n-1},f(t)=2/3+1/t}$。因此 $b_n=2/3+b_{n-1}$，结合首项得 $\boxed{b_n=(2n+1)/3}$，其正性也保证递推参数合法。每一对交错项为 $b_{2j-1}{b}_{2j}-b_{2j}{b}_{2j+1}=b_{2j}(b_{2j-1}-b_{2j+1})=-4(4j+1)/9$。所以 $\boxed{T_n=-4n(2n+3)/9\le -20/9}$，等号在 $n=1$ 成立。