培玉 · 一试
2023 年吉林预赛
F3填空题不等式的证明
若不等式
对任意满足 的正实数 均成立，则实数 的最大值为 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
齐次化后固定 ；对固定 ，比值随 增大而减小，所以边界 最危险。
解答
令 ，则 且 。所能取的最大常数为
对固定 ，上式随 增大而减小，故取 。于是只需最小化
由
唯一极小点为 ，且
因此
复核
在 或 时分别趋于无穷或 ，上述驻点确为全局最小； 取 且 可达等号。
方法总结
求“对所有变量成立”的最佳常数，应先写成比值下确界，再利用约束边界和单调性逐步降元。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需把恒成立改成比值下确界，归一化后利用x的单调性把约束推到x=1+y边界；剩下一元分式极值沿常规导数法完成。
已记下，谢谢！