2010 年河南预赛（高二卷） · 第 16 题

思路

一元二次方程两根差的绝对值为判别式平方根除以首项系数绝对值。内切圆的切点应落在三条边的线段上。

想法从哪来：三角形三边切圆容易引出切线长，但顶点受抛物线约束，设侧边在纵轴上的截距更能利用它。圆心到侧边的距离等于半径，会给出一个关于截距的二次方程，两根正好对应B、C；面积只需要两截距之差，无需求出各自的根式。这里“内切”比“两边直线都相切”更强：底边切点必须在线段BC内，要求两截距异号，这会决定P的横坐标范围。将抛物线关系代入后，根差特别简洁，面积化成一个正变量与其倒数之和。最后验证取等点的两条切线确实围住圆，才完成可达性。

内切圆在底边上的切点必须在线段内部，这先限制顶点横坐标；切线截距再给面积函数。