2022 年吉林预赛

F4解答题椭圆

已知椭圆

C : \frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{m} = 1 (m > 0)

经过点 $A (1, \frac{3}{2})$ 。能否在椭圆 $C$ 上找到两点 $E, F$ ，满足： $△ A EF$ 的三边所在直线的斜率成等差数列，且边 $A E$ 与边 $A F$ 所在直线均与圆

(x - 2)^{2} + (y - \frac{3}{2})^{2} = r^{2} (r > 0)

相切？如果存在，求出相应的 $r$ 的值；如果不存在，说明理由。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

为什么评为 F4（会透露解法方向）

先需由同圆相切且圆心水平偏移推出两条边斜率相反，再证明第三边斜率固定为1/2，并穷尽哪个斜率作为等差中项，多个几何与代数判断依次衔接。

用到的方法（会透露解法方向）