同一骨架 2024 年全国高中数学联赛一试（A 卷） 第 3 题 · P007179
把不等式解集画成区间后，两题都靠交集的左右端点反推参数。参数改变半轴方向或区间形状时要先分情形，再判断每个交集端点来自哪一个集合。
一个条件通过充分条件给出，另一个直接指定交集；都应先落实成数轴上的重叠关系。
培玉 · 一试
2026 年广西预赛
F2填空题集合与简易逻辑
集合
若“”是“”的充分条件，则 的取值范围是 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
先把分式不等式化为开区间 ；充分条件的含义是在 时交集必须非空，此时 也是一个开区间，问题便转化为两个开区间相交的 端点条件。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
对分式作符号分析。临界点为 与 ，且在两点之间分子、分母异号，所以
当 时，
要使两个开区间 与 有公共元素，必须且只需
这等价于
因此 的取值范围为
复核
当 时，，与 仅在端点 接触，而端点不属于两个开区间， 交集为空； 同理。区间内部任取 ，两区间都有正长度的重叠部分，因此两个 端点必须严格排除。
方法总结
含参数集合的充分条件问题，先把逻辑语言写成对应参数值下的明确结论。本题令 后，绝对值不等式给出以 为中心的开区间；两个开区间非空相交的模板是 “左区间的左端点小于右区间的右端点，且反向也成立”，同时要按开闭性检查等号。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
将充分条件落实为a=1，再判两个开区间相交，须排除仅在b=±2端点接触。
联系 · 2 条
易混 2013 年辽宁预赛 第 1 题 · P009398
两题都能在数轴上比较区间的重叠，但在使用端点判据前，必须先确认区间本身存在。一题的参数会使集合直接变为空集，另一题在指定参数下的区间始终非空；“交集为空”不能只靠把相交不等式反过来处理。
闭区间接触一个端点已经相交，开区间的端点接触却不提供公共点；空集分支与端点开闭是两件不同的检查。
已记下，谢谢！