2024 年吉林预赛

解答

(1) 直线方程为 $x-\sqrt{3}y+2=0$，原点到它的距离为 $1$，故

(2) 将椭圆写成 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$。圆在 $P$ 处的切线为 $x_{0}x+y_{0}y=1$。令其上的点为

两个交点对应参数 $t_1,t_2$。因为切点向量与切向量垂直，

把参数式代入椭圆并用韦达定理，条件 $t_1{t}_2=-1$ 化为

因而四点 $(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1)$ 均满足椭圆方程。故 $C_1$ 过四个定点 $\boxed{(\pm 1,\pm 1)}$。